حاسبة المضروب

حاسبة المضروب - احسب ‎n!‎ مع خطوات

🔢 احسب المضروب (‎n!‎) لأي رقم من 0 إلى 170. شاهد التفصيل خطوة بخطوة، والتباديل والتوافيق، وتطبيقات من الواقع.

ما هو المضروب؟

مضروب عدد صحيح غير سالب n، ويرمز له بـ ‎n!‎، هو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر من أو المساوية لـ n. وهو يمثل عدد الطرق لترتيب n من العناصر المميّزة.

صيغة المضروب

‎n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 3 × 2 × 1

• ‏0! = 1 (بالتعريف)
• ‏1! = 1
• ‏n! = n × (n-1)! (تعريف تكراري)

أمثلة على المضروب

• ‏5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
• ‏10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3,628,800
• ‏0! = 1 (حالة خاصة)
• ‏20! = 2,432,902,008,176,640,000

لماذا ‏0! = 1؟

هناك طريقة واحدة فقط لترتيب صفر من العناصر: الترتيب الفارغ. هذا التعريف يضمن أن الصيغ الرياضية (خصوصًا في التوافقيات) تعمل بشكل صحيح. كما أنه متّسق مع الصيغة التكرارية: ‏n! = n × (n-1)!, لذا ‏1! = 1 × 0! يعني أن ‏0! يجب أن يساوي 1.

التباديل

‎P(n,r) = n!/(n-r)!‎

عدد طرق ترتيب r عنصرًا من بين n عناصر مميّزة عندما يكون الترتيب مهمًا.

• مثال: ‎P(5,3) = 5!/(5-3)! = 120/2 = 60
• حالة استخدام: مراكز منصة التتويج في سباق (الأول، الثاني، الثالث)

التوافيق

‎C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)‎

عدد طرق اختيار r عنصرًا من بين n عناصر مميّزة عندما لا يكون الترتيب مهمًا.

• مثال: ‎C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 120/(6×2) = 10
• حالة استخدام: أرقام اليانصيب، اختيار لجنة

الأصفار في نهاية ‎n!‎

تتكوّن الأصفار النهائية بسبب عوامل العدد 10 = 2 × 5. وبما أن عوامل 2 أكثر من عوامل 5 دائمًا، فنكتفي بعدّ عوامل 5:

الأصفار = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ...

• ‏10! يحتوي على صفرين في النهاية
• ‏25! يحتوي على 6 أصفار في النهاية
• ‏100! يحتوي على 24 صفرًا في النهاية

تطبيقات من الواقع

• التشفير: عدد مفاتيح التشفير الممكنة
• الجدولة: طرق ترتيب المواعيد والمهام والفعاليات
• علم الوراثة: تسلسلات DNA/البروتين المحتملة
• الاحتمالات: حساب فرص الألعاب واليانصيب
• علوم الحاسوب: تحليل تعقيد الخوارزميات
• التصنيع: ترتيبات خطوط الإنتاج
• اللوجستيات: مسائل تحسين المسارات

قيم مضروب شهيرة

• ‏52! ≈ ‎8.07 × 10⁶⁷‎ (ترتيبات خلط الأوراق)
• ‏70! ≈ ‎1.2 × 10¹⁰⁰‎ (يتجاوز عدد الذرات في الكون ≈ ‎10⁸⁰‎)
• ‏100! ≈ ‎9.3 × 10¹⁵⁷‎ (158 رقمًا!)
• ‏170! ≈ ‎7.3 × 10³⁰⁶‎ (الحد الأقصى في JavaScript)

تقريب ستيرلينغ

للأعداد الكبيرة n، يصبح حساب المضروب بدقة غير عملي. يوفر تقريب ستيرلينغ:

n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ

يصبح هذا التقريب أدق كلما زادت n. عند n = 10 يكون الخطأ أقل من 1%.

معدل نمو المضروب

ينمو المضروب أسرع بكثير من الدوال الأُسّية أو كثيرات الحدود:

• كثيرة حدود: ‎n² = 100‎ عند n=10
• أُسّية: ‎2ⁿ = 1,024‎ عند n=10
• مضروب: ‎n! = 3,628,800‎ عند n=10

المضروب المزدوج

المضروب المزدوج (‎n!!‎) يضرب كل عددين:

• ‏n!! = n × (n-2) × (n-4) × ... × 2 أو 1
• ‏7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105
• ‏8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384

المضروب الجزئي (!n) (الترتيبات دون نقاط ثابتة)

المضروب الجزئي !n يحسب عدد التبديلات التي لا يظهر فيها أي عنصر في موضعه الأصلي:

!n = n! × (1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)ⁿ/n!)

مثال: ‏!3 = 2 (ترتيبات ABC دون أي حرف في موضعه الأصلي: BCA, CAB)

تنفيذ برمجي

طريقة تكرارية (Iterative):

function factorial(n) {
    let result = 1;
    for (let i = 2; i <= n; i++) {
        result *= i;
    }
    return result;
}
            

طريقة递归 (Recursive):

function factorial(n) {
    if (n === 0 || n === 1) return 1;
    return n * factorial(n - 1);
}
            

💡 نصيحة: عند حساب التباديل أو التوافيق، قم بإلغاء العوامل المشتركة قبل الحساب لتجنب تجاوز السعة. مثلًا ‎C(100,2) = 100!/(2!×98!)‎ احسبها هكذا ‎(100×99)/2 = 4,950‎ بدلًا من حساب مضروبات ضخمة منفصلة!